Aperçu (maths)

Quelques Notes mathématiques :


On reconnait ci-après les courbes de   sin,  cos;  et  une ‘cardioïde’ en bleu, ainsi que sa développée, autre cardioïde en rouge, 3 fois plus petite…

.: ……. (‘courbe développée’ d’une courbe donnée : à la fois le lieu du (*) centre de courbure et  l’enveloppe des normales de la courbe initiale.)


Autre exemple. Soit P(x)=(x-a)(x-b)(x-c) de racines complexes a,b,c (affixes d’un triangle);  peut-on « voir » où sont les deux racines de P’(x) ?

On montre qu’elles sont situées dans le triangle (Théorème de Lucas).  On peut même montrer (difficilement!) qu’il y a une et une seule ellipse « de Steiner » d’aire maximum inscrite dans le triangle; ses « foyers » sont les points cherchés !


Notes: 1) Longueur et « courbure » des courbes planes [et même non planes] sont vues dans le livre de cours  à la fin [et dans les exercices de Spé].
2) Sur les « coniques » signalons le célèbre « théorème de l’hexagramme mystique », trouvé par Blaise Pascal à 16 ans, et dont il tirait plus de 400 corollaires ! …
3) Ci-dessous la « chainette » y=ch(x) en forme d’une petite chaîne portée au cou (cf. équation différentielle).  A ne pas confondre (comme Galilée !) avec la parabole …
Chainette ellipse+ « développée »ellipses de Steiner


Les « ellipses de Steiner » sont vues dans le livre d’exercices : Documents.